Julia言語 HOSVDによるタッカー低ランク近似

行列の低ランク近似がSVDによって実現されるように，テンソルの低（タッカー）ランク近似がHOSVDで実現できます．

なお，Eckart Youngの定理より，SVDがフロベニウスノルムの意味で最良低ランク近似を実現しますが，テンソルの場合はそのような保証はないと思います．

テンソルにおいては，タッカーランクとCPランクという異なるランクの定義が存在します．（以下，研究室のセミナーで用いた資料.間違ってたらゴメン）

記号×_nはモードn積です．モード積の定義はこちらを参考にすると良いと思います．

juliaでHOSVDがさくっとできないかいろいろ試してましたが，TensorToolboxを使うのが手っ取り早そうですね．例として3×3×3テンソルTをHOSVDによってタッカーランク(2,2,2)で近似するJuliaコードは以下．

using TensorToolbox

function HOSVD(T, reqrank)
    X = hosvd(T, reqrank=reqrank)
    g = X.cten
    Us = X.fmat

    #X = ttm(g, [Us[1],Us[2],Us[3]],[1,2,3])
    X = ttm(g, [Us...])
    return X
end

T = rand(3,3,3)
println("input tensor")
display(T)

X = HOSVD(T, [2,2,2])
println("\n\noutput tensor")
display(X)

println("\n\nerror")
println(norm(X-T))

タッカーランクを[3,3,3]にすると，エラーが0になります．

X.cten でコアテンソルが取り出せて，X.fmat でスライドでいうところのU_1,U_2,…を取り出しています． ttmの使い方はgithubに丁寧に載ってます．ttm(X, A, 2)がXとAのモード2積 X ×_2 A です．

github.com

ところで，この実装って Truncated HOSVD になっているのだろうか．．．